如何使用Numpy来计算导数？
例如，如何计算函数的导数
y = x 2 +1
使用numpy ？
假设我想要x = 5时的导数值
你有四个选项
- 您可以使用有限差异
- 您可以使用自动衍生工具
- 您可以使用符号差异化
- 你可以手工计算衍生物。
有限差异不需要外部工具，但容易出现数值错误，如果处于多variables状态，可能需要一段时间。
如果问题很简单，符号分化是理想的。 符号方法现在越来越强大。 SymPy是一个非常好的项目，与NumPy很好地结合在一起。 看看autowrap或lambdify函数，或查看Jensen关于类似问题的博文。
自动派生是非常酷，不容易出现数字错误，但确实需要一些额外的库（谷歌为此，有几个很好的select）。 这是最强大，但也是最复杂/难以设置的select。 如果你很好地限制自己的语法，那么Theano可能是一个不错的select。
这里是一个使用SymPy的例子
In [1]: from sympy import * In [2]: import numpy as np In [3]: x = Symbol('x') In [4]: y = x**2 + 1 In [5]: yprime = y.diff(x) In [6]: yprime Out[6]: 2⋅x In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy') In [8]: f(np.ones(5)) Out[8]: [ 2. 2. 2. 2. 2.]
NumPy不提供通用function来计算衍生工具。 它可以处理多项式的简单特例：
>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1]) >>> print p 2 1 x + 1 >>> q = p.deriv() >>> print q 2 x >>> q(5) 10
如果你想计算导数的数值，你可以逃脱使用绝大多数应用的中心差商。 对于单点的导数，公式就是这样的
x = 5.0 eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x) print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)
如果有一个具有相应的函数值数组y的横坐标的数组x ，则可以用下式来计算导数的近似值
numpy.diff(y) / numpy.diff(x)
我能想到的最直接的方法是使用numpy的渐变函数 ：
x = numpy.linspace(0,10,1000) dx = x[1]-x[0] y = x**2 + 1 dydx = numpy.gradient(y, dx)
这样，dydx将使用中心差异来计算，并且将与y具有相同的长度，与numpy.diff不同，后者使用前向差异并将返回（n-1）个大小的向量。
我会在堆上扔另一种方法
scipy.interpolate的许多插值样条都可以提供派生。 因此，使用线性样条（ k=1 ），样条的derivative()使用derivative()方法）应该等同于前向差。 我不完全确定，但是我相信使用三次样条曲线导数将会类似于中心导数，因为它使用来自前后的值来构造三次样条曲线。
from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline # Get a function that evaluates the linear spline at any x f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1) # Get a function that evaluates the derivative of the linear spline at any x dfdx = f.derivative() # Evaluate the derivative dydx at each x location... dydx = dfdx(x)
根据你所要求的精度水平，你可以使用简单的差异性certificate自己来解决：
>>> (((5 + 0.1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.1 10.09999999999998 >>> (((5 + 0.01) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.01 10.009999999999764 >>> (((5 + 0.0000000001) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.0000000001 10.00000082740371
我们实际上不能采取渐变的限制，但它的乐趣。 你必须小心，因为
>>> (((5+0.0000000000000001)**2+1)-((5)**2+1))/0.0000000000000001 0.0
假设你想使用numpy ，你可以使用严格的定义在任何点数值计算函数的导数：
def d_fun(x): h = 1e-5 #in theory h is an infinitesimal return (fun(x+h)-fun(x))/h
您也可以使用对称导数来获得更好的结果：
def d_fun(x): h = 1e-5 return (fun(x+h)-fun(xh))/(2*h)
使用你的例子，完整的代码应该是这样的：
def fun(x): return x**2 + 1 def d_fun(x): h = 1e-5 return (fun(x+h)-fun(xh))/(2*h)
现在，您可以在x=5处数值地find导数：
In [1]: d_fun(5) Out[1]: 9.999999999621423
