龙格库塔（RK4）整合游戏物理
Gaffer on Games有一篇关于使用RK4集成获得更好游戏物理效果的文章 。 实现很简单，但是背后的math让我困惑。 我理解概念层面的导数和积分，但很长一段时间没有操纵方程。
这是Gaffer实施的主要原因：
void integrate(State &state, float t, float dt) { Derivative a = evaluate(state, t, 0.0f, Derivative()); Derivative b = evaluate(state, t+dt*0.5f, dt*0.5f, a); Derivative c = evaluate(state, t+dt*0.5f, dt*0.5f, b); Derivative d = evaluate(state, t+dt, dt, c); const float dxdt = 1.0f/6.0f * (a.dx + 2.0f*(b.dx + c.dx) + d.dx); const float dvdt = 1.0f/6.0f * (a.dv + 2.0f*(b.dv + c.dv) + d.dv) state.x = state.x + dxdt * dt; state.v = state.v + dvdt * dt; } 任何人都可以简单地解释RK4是如何工作的？ 具体而言，为什么我们平均0.0f ， 0.5f ， 0.5f和1.0f?的衍生物1.0f? 如何平均导数到4阶不同于使用更小时间步长进行简单欧拉集成？
在阅读下面接受的答案和其他几篇文章后，我对RK4的工作原理有了一个了解。 回答我自己的问题：
任何人都可以简单地解释RK4是如何工作的？
RK4利用了这样一个事实，即如果我们使用它的高阶导数而不是一阶导数或二阶导数，我们可以得到更好的函数近似。 这就是为什么泰勒级数收敛比欧拉近似快得多。 （看看该页面右侧的animation）
具体而言，为什么我们平均0.0f ， 0.5f ， 0.5f和1.0f的衍生物？
Runge-Kutta方法是一个函数的近似值，它在一个时间步长内对几个点的导数进行采样，而不像泰勒级数只对单点的导数进行采样。 在对这些衍生物进行采样之后，我们需要知道如何对每个样本进行权衡以获得最接近的可能性。 一个简单的方法是select与泰勒级数一致的常数，这就是确定龙格 – 库塔方程常数的方法。
这篇文章使我更清楚。 注意
(15)是泰勒级数展开式，(17)是龙格 – 库塔推导。
如何平均导数到4阶不同于使用更小时间步长进行简单欧拉集成？
在math上，它收敛的速度比做许多欧拉近似要快得多。 当然，有了足够的欧拉近似，我们可以获得与RK4相等的精度，但是所需的计算能力并不能certificate使用欧拉。
就实际的math而言，这可能有点过于简单，但意味着对Runge Kutta集成的直观指导。
在t1某一时刻给定一些数量，我们想知道在另一个时间t2的数量。 用一阶微分方程，我们可以知道t1时刻的变化率。 没有什么我们可以肯定知道的; 剩下的就是猜测。
欧拉积分是最简单的猜测方法：从t1到t2线性外推，使用t1上的精确已知变化率。 这通常会给出一个不好的答案。 如果t2距离t1很远，这个线性外推将无法匹配理想答案中的任何曲率。 如果我们从t1到t2采取很多小步骤，我们将会遇到类似值相减的问题。 舍入误差会破坏结果。
所以我们改进我们的猜测。 一种方法是继续前进，然后进行线性外推，然后希望离真值不太远，用微分方程计算t2的变化率的估计值。 这在t1处的（精确的）变化率的平均值更好地代表了t1和t2之间的真实答案的典型斜率。 我们用这个来做一个新的线性外推从t1到t2 。 如果我们应该采取简单的平均值，或者在t1给予更多的权重，而没有用math来估计错误，这是不明显的，但是这里有一个select。 无论如何，这是一个比欧拉更好的答案。
也许更好的办法是把我们的初始线性外推到t1和t2之间的一个时间点，然后用微分方程来计算那里的变化率。 这与上述的平均水平差不多。 然后用这个从t1到t2的线性外推，因为我们的目的是在t2find数量。 这是中点algorithm。
你可以想象使用变化率的中点估计来对从t1到中点的数量进行另一个线性外推。 用微分方程，我们可以更好地估计那里的斜率。 使用这个，我们结束从t1一直到t2我们想要一个答案。 这是Runge Kuttaalgorithm。
我们可以做三分之一的中点吗？ 当然，这不是非法的，但是详细的分析显示出减less的改善，使得其他的错误来源支配着最终的结果。
Runge Kutta将微分方程应用于初始点t1，两次到中点，一次在最终点t2。 中间点是一个select的问题。 有可能使用t1和t2之间的其他点来做出改进的斜率估计。 例如，我们可以使用t1 ，t2点的三分之一点，t2的另一个2/3点， t2 。 四种衍生物的平均权重将不同。 实际上这并没有什么帮助，但在testing中可能有一席之地，因为它应该给出相同的答案，但会提供一组不同的舍入错误。
至于你的问题为什么：我记得曾经写过一个布料模拟器，布料是一系列在节点上相互连接的弹簧。 在模拟器中，弹簧施加的力与弹簧伸展的距离成正比。 力在节点处引起加速度，这引起速度移动节点拉伸弹簧。 有两个积分（积分加速度得到速度，积分速度积分得到位置），如果不准确的话，误差会加大：加速度太大会导致速度过大，导致过多的拉伸，导致更大的加速度，使得整个系统不稳定。
假设没有graphics是很难解释的，但是我会尝试：假设你有f（t），其中f（0）= 10，f（1）= 20，f（2）= 30。
f（t）在0 <t <1的区间内的正确积分会给出在该区间内f（t）图下的曲面。
矩形规则的积分近似表示矩形，其中宽度是三angular洲的时间，长度是f（t）的新值，因此在0 <t <1的区间内，将产生20 * 1 = 20，并在下一个区间1
现在，如果要绘制这些点并通过它们画一条线，就会发现它实际上是三angular形的，表面积为30（单位），因此欧拉积分是不够的。
为了得到更准确的表面积分（积分），可以采用更小的t间隔，例如f（0），f（0.5），f（1），f（1.5）和f（2）。
如果你还在追踪我，那么RK4方法就是估计f（t）的值的一种方法，t0 <t <t0 + dt是由比我更聪明的人发明的，以便得到精确的积分估计值。
（但正如其他人所说，阅读维基百科的文章以获得更详细的解释，RK4属于数值积分范畴）
RK4在最简单的意义上是基于4个导数和每个时间步的点来做一个近似函数：在起始点A的初始条件，基于数据点A的第一近似斜率B，来自A的斜率，第三近似C，其具有用于B处的斜率的校正值以反映函数的形状变化，并且最终是基于C处的校正的斜率的最终斜率。
所以基本上这个方法可以让你使用一个起点，一个平均的中点，两个部分都有校正来校正形状，还有一个双重校正的终点。 这使得每个数据点的有效贡献是1/6 1/3 1/3和1/6，所以大部分答案都是基于对函数形状的修正。
事实certificate，RK逼近（Euler被认为是RK1）的阶数对应于其精度如何随着更小的时间步长而缩放。
RK1近似值之间的关系是线性的，所以对于10倍的精度，你可以获得大约10倍的收敛。
对于RK4来说，10倍的精度可以使你的收敛速度提高10 ^ 4倍。 所以当你的计算时间在RK4中线性增加时，它会多项式地增加你的精度。
