了解NumPy的寄语
我正在努力弄清楚einsum是如何工作的。 我已经看过这个文档和一些例子，但是它并不是一成不变的。
下面是我们在课堂上学习的一个例子：
C = np.einsum("ij,jk->ki", A, B)
对于两个数组A和B
我认为这将需要A^T * B ，但是我不确定（它正在转换其中一个对吗？）。 任何人都可以通过我在这里发生的事情（一般在使用einsum ）吗？
（注意：这个答案是基于我刚才写的一篇关于einsum的简短博客文章 。）
einsum做什么？
想象一下，我们有两个multidimensional array， A和B 现在让我们假设我们想…
- 以特定的方式将
A与B相乘以创build新的产品arrays; 然后也许 - 将这个新的数组沿着特定的轴求和 ; 然后也许
- 按照特定顺序转置新arrays的轴。
有一个很好的机会， einsum将帮助我们更快，更有效地记忆NumPy函数的组合，如multiply ， sum和transpose将允许。
einsum如何工作？
这是一个简单的（但不是完全微不足道的）例子。 采取以下两个数组：
A = np.array([0, 1, 2]) B = np.array([[ 0, 1, 2, 3], [ 4, 5, 6, 7], [ 8, 9, 10, 11]])
我们将A和B乘以元素，然后沿新数组的行进行求和。 在“正常”的NumPy中，我们写道：
>>> (A[:, np.newaxis] * B).sum(axis=1) array([ 0, 22, 76])
所以在这里， A上的索引操作将两个数组的第一个轴排成一列，以便可以广播乘法运算。 然后将产品arrays的行相加以返回答案。
现在，如果我们想要使用einsum ，我们可以这样写：
>>> np.einsum('i,ij->i', A, B) array([ 0, 22, 76])
签名string'i,ij->i'是这里的关键，需要一点解释。 你可以把它想成两半。 在左侧（ ->左侧），我们标记了两个input数组。 在->的右边，我们标记了我们想要结束的数组。
接下来会发生什么：
-
A有一个轴; 我们已经贴上了标签。 而B有两个轴; 我们将轴0标记为i，将轴1标记为j。 -
通过在两个input数组中重复标签
i，我们告诉einsum这两个轴应该相乘 。 换句话说，我们将数组A与数组B每一列相乘，就像A[:, np.newaxis] * B一样。 -
请注意，
j在我们所需的输出中不会显示为标签。 我们刚刚使用i（我们想结束一维数组）。 通过省略标签，我们告诉einsum沿着这个轴进行求和 。 换句话说，我们正在总结产品的行，就像.sum(axis=1)一样。
这基本上是所有你需要知道使用einsum 。 这有助于发挥一点; 如果我们在输出中留下两个标签，我们就得到一个二维数组（与A[:, np.newaxis] * B ）相同。 如果我们说没有输出标签，我们得到一个单一的数字（和(A[:, np.newaxis] * B).sum() ）。
然而，关于einsum在于，并不是首先build立一个临时的产品阵容; 它只是对产品进行总结。 这可以导致内存使用的大量节省。
一个稍大的例子
为了解释点积，下面是两个新的数组：
A = array([[1, 1, 1], [2, 2, 2], [5, 5, 5]]) B = array([[0, 1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]])
我们将使用np.einsum('ij,jk->ik', A, B)来计算点积。 下面的图片显示了A和B的标签以及我们从函数中获得的输出数组：
你可以看到标签j被重复 – 这意味着我们将A的行与B的列相乘。 此外，标签j不包括在输出中 – 我们正在总结这些产品。 标签i和k保留为输出，所以我们得到一个二维数组。
将这个结果与标签j 不加和的数组进行比较可能会更清楚。 下面，在左边你可以看到写入np.einsum('ij,jk->ijk', A, B) （即我们保留了标签j ）：
总结轴j给出了预期的点积，如右图所示。
一些练习
为了获得更多的感觉，可以使用下标符号来实现熟悉的NumPy数组操作。 任何涉及乘法和求和轴的组合的东西都可以使用einsum 。
设A和B是两个具有相同长度的一维数组。 例如， A = np.arange(10)和B = np.arange(5, 15) 。
-
A的总和可以写成：np.einsum('i->', A) -
单元乘法
A * B可以写成：np.einsum('i,i->i', A, B) -
内积或点积
np.inner(A, B)或np.dot(A, B)可写成：np.einsum('i,i->', A, B) # or just use 'i,i' -
外部产品
np.outer(A, B)可以写成：np.einsum('i,j->ij', A, B)
对于二维数组， C和D ，假设这些轴是兼容的长度（两个长度相同或其中一个长度为1），下面是几个例子：
-
C（主对angular线之和），np.trace(C)可以写成：np.einsum('ii', C) -
C和D，C * DT的转置的元素乘法可以写成：np.einsum('ij,ji->ij', C, D) -
将
C的每个元素乘以数组D（构成一个4D数组），C[:, :, None, None] * D，可以写成：np.einsum('ij,kl->ijkl', C, D)
让我们制作2个不同的，但兼容的尺寸来突出他们的相互作用
In [43]: A=np.arange(6).reshape(2,3) Out[43]: array([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) In [44]: B=np.arange(12).reshape(3,4) Out[44]: array([[ 0, 1, 2, 3], [ 4, 5, 6, 7], [ 8, 9, 10, 11]])
你的计算需要一个（2,3）和（3,4）的“点”（产品的总和）来产生一个（4,2）数组。 i是A的第一个暗淡， C的最后一个; k B的最后一个， C第一个。 j是总和消耗的。
In [45]: C=np.einsum('ij,jk->ki',A,B) Out[45]: array([[20, 56], [23, 68], [26, 80], [29, 92]])
这与np.dot(A,B).T – 它是最终的输出。
要查看更多关于j发生了什么，请将C下标更改为ijk ：
In [46]: np.einsum('ij,jk->ijk',A,B) Out[46]: array([[[ 0, 0, 0, 0], [ 4, 5, 6, 7], [16, 18, 20, 22]], [[ 0, 3, 6, 9], [16, 20, 24, 28], [40, 45, 50, 55]]])
这也可以通过以下方式产生：
A[:,:,None]*B[None,:,:]
也就是说，在A的末尾添加一个k维，并在B的前面添加一个i ，得到一个（2,3,4）数组。
0 + 4 + 16 = 20 9 + 28 + 55 = 92等; 求和j并转置得到较早的结果：
np.sum(A[:,:,None] * B[None,:,:], axis=1).T # C[k,i] = sum(j) A[i,j (,k) ] * B[(i,) j,k]
我发现NumPy：交易的技巧（第二部分）有启发性
我们用 – >来表示输出数组的顺序。 所以把'ij，i-> j'看作左边（LHS）和右边（RHS）。 LHS上任何重复的标签都会计算产品元素，然后进行求和。 通过改变RHS（输出）侧的标签，我们可以定义我们想要对input数组进行处理的轴，即轴0,1上的求和等等。
import numpy as np >>> a array([[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]]) >>> b array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]) >>> d = np.einsum('ij, jk->ki', a, b)
注意有三个坐标轴，i，j，k，j是重复的（在左边）。 i,j表示一个行和列。 j,k为b 。
为了计算产品和alignmentj轴，我们需要添加一个轴到a 。 （ b将沿（？）第一轴播放）
a[i, j, k] b[j, k] >>> c = a[:,:,np.newaxis] * b >>> c array([[[ 0, 1, 2], [ 3, 4, 5], [ 6, 7, 8]], [[ 0, 2, 4], [ 6, 8, 10], [12, 14, 16]], [[ 0, 3, 6], [ 9, 12, 15], [18, 21, 24]]])
j在右边不存在，所以我们求和3x3x3arrays的第二个轴j
>>> c = c.sum(1) >>> c array([[ 9, 12, 15], [18, 24, 30], [27, 36, 45]])
最后，右边的（按字母顺序）颠倒了索引，所以我们转换。
>>> cT array([[ 9, 18, 27], [12, 24, 36], [15, 30, 45]]) >>> np.einsum('ij, jk->ki', a, b) array([[ 9, 18, 27], [12, 24, 36], [15, 30, 45]]) >>>
