非Functor / Functor / Applicative / Monad的好例子？
在向某人解释什么是Xtypes的时候，我很难find恰好是X的数据结构的好例子。
所以，我请求例子：
- 一个不是Functor的types构造函数。
- 一个types构造函数，它是一个Functor，但不适用。
- 一个types构造函数是一个应用程序，但不是一个Monad。
- Monad的types构造函数。
我认为Monad在世界各地都有很多的例子，但是Monad的一个很好的例子是与之前的例子有一些联系，可以完成这个图画。
我寻找相似的例子，仅在属于特定types的重要方面有所不同。
如果有人能够在这个层次结构的某个地方偷偷摸摸地find一个箭头的例子（它在Applicative和Monad之间？），那也太棒了！
一个不是Functor的types构造函数：
newtype T a = T (a -> Int)
你可以使用一个逆变函数，但不是一个（协变）函数。 尝试编写fmap ，你会失败。 请注意，逆变函数的版本是相反的：
fmap :: Functor f => (a -> b) -> fa -> fb contramap :: Contravariant f => (a -> b) -> fb -> fa
一个types的构造函数是一个函子，但不适用：
我没有一个很好的例子。 Const ，但理想情况下我想要一个具体的非Monoid，我想不出来。 所有types基本上都是数字，枚举，产品，总和或函数。 你可以看到下面的pigworker和我不同意Data.Void是否是Monoid ;
instance Monoid Data.Void where mempty = undefined mappend _ _ = undefined mconcat _ = undefined
由于_|_是Haskell中的一个合法值，并且实际上是Data.Void的唯一合法值， Data.Void这符合Monoid规则。 我不确定unsafeCoerce与它有什么关系，因为一旦使用任何unsafe函数，程序就不能保证不会违反Haskell语义。
有关底部（ 链接 ）或不安全function（ 链接 ）的文章，请参见Haskell Wiki。
我想知道是否有可能使用更丰富的types系统来创build这样的types构造函数，比如Agda或Haskell以及各种扩展。
一个types构造函数是一个应用程序，但不是一个Monad：
newtype T a = T {multidimensional array of a}
你可以用一个类似的东西来制作一个应用程序。
mkarray [(+10), (+100), id] <*> mkarray [1, 2] == mkarray [[11, 101, 1], [12, 102, 2]]
但是，如果你使它成为一个monad，你可能会得到一个尺寸不匹配。 我怀疑这样的例子在实践中很less见。
一个Monadtypes的构造函数：
[]
关于箭头：
询问箭头在这个层次结构上的位置，就像询问“红色”是什么形状。 注意类的不匹配：
Functor :: * -> * Applicative :: * -> * Monad :: * -> *
但，
Arrow :: * -> * -> *
我的风格可能会受到我的手机的限制，但是这里却是如此。
newtype Not x = Kill {kill :: x -> Void}
不能是一个Functor。 如果是的话，我们会的
kill (fmap (const ()) (Kill id)) () :: Void
月亮将由绿色奶酪制成。
与此同时
newtype Dead x = Oops {oops :: Void}
是一个函数
instance Functor Dead where fmap f (Oops corpse) = Oops corpse
但不能适用，否则我们会有
oops (pure ()) :: Void
而绿色则由月亮奶酪制成（实际上可能会发生，但晚些时候才会发生）。
（额外注意： Void ，如Data.Void是一个空的数据types，如果你试图使用undefined来certificate它是一个Monoid，我将使用unsafeCoerce来certificate它不是）。
欢悦，
newtype Boo x = Boo {boo :: Bool}
在许多方面是可应用的，例如，像迪克斯特拉所说的那样，
instance Applicative Boo where pure _ = Boo True Boo b1 <*> Boo b2 = Boo (b1 == b2)
但它不能是一个单子。 要明白为什么不这样做，要注意回归必须不断地Boo True或Boo False ，因此
join . return == id
不可能持有。
噢，我差点忘了
newtype Thud x = The {only :: ()}
是Monad。 滚动你自己的。
飞机赶上…
我相信其他答案错过了一些简单而常见的例子：
一个types的构造函数，它是一个Functor而不是一个Applicative。 一个简单的例子是一对：
instance Functor ((,) r) where fmap f (x,y) = (x, fy)
但是如何在不对r施加额外限制的情况下如何定义它的Applicative实例是没有办法的。 特别是，如何为任意r定义pure :: a -> (r, a)是没有办法的。
一个types构造函数是一个应用程序，但不是一个Monad。 一个众所周知的例子是ZipList 。 （这是一个包装列表的新types，为它们提供了不同的Applicative实例。）
fmap以通常的方式定义。 但是pure和<*>被定义为
pure x = ZipList (repeat x) ZipList fs <*> ZipList xs = ZipList (zipWith id fs xs)
所以pure通过重复给定的值来创build一个无限的列表，并且用一系列值来压缩函数列表 – 将第i个函数应用于第i个元素。 （ []上的标准<*>产生将第i个函数应用到第j个元素的所有可能的组合）。但是如何定义monad没有明智的方法（见这篇文章 ）。
箭头如何适合函数/应用/ monad层次结构？ 看到成语是没有意义的，箭头是细致的，monad是山姆林德利，菲利普Wadler，杰里米Yallop 混杂 。 MSFP 2008.（他们称之为应用函子习语 。）摘要：
我们重新审视三种计算概念之间的联系：莫吉的单子，休斯的箭，麦克布莱德和帕特森的成语（也称为应用函子）。 我们certificate成语相当于满足types同构A→B = 1→A（A→B）的箭头，单子相当于满足types同构的箭头A→B = A→（1〜 > B）。 此外，成语embedded箭头和箭头embeddedmonad。
一个不是函子的types构造函数的一个很好的例子是Set ：你不能实现fmap :: (a -> b) -> fa -> fb ，因为没有额外的约束Ord b你不能构造fb 。
