计算2Dvector的交叉产品

从维基百科：

叉积是在三维欧几里得空间中的两个向量上的二元运算，其导致与包含两个input向量的平面垂直的另一向量。

鉴于定义只定义在三个（或七个，一个和零）维度，如何计算两个二维向量的叉积？

我见过两个实现。一个返回一个新的向量（但只接受一个向量），另一个返回一个标量（但是是两个向量之间的计算）。

实现1（返回一个标量）：

float CrossProduct(const Vector2D & v1, const Vector2D & v2) const { return (v1.X*v2.Y) - (v1.Y*v2.X); }

实现2（返回一个向量）：

 Vector2D CrossProduct(const Vector2D & v) const { return Vector2D(vY, -vX); }

为什么不同的实现？我将使用什么标量实现？我会用什么vector实现？

我问的原因是我自己写了一个Vector2D类，不知道要使用哪种方法。

实现1返回由input向量的规则三维交叉乘积产生的向量的量值，将其Z值隐含地作为0（即，将2D空间视为3D空间中的平面）。 3D交叉乘积将垂直于该平面，因此具有0个X和Y分量（因此返回的标量是3D交叉乘积vector的Z值）。

请注意，由3D叉积得到的vector的大小也等于两个vector之间的平行四边形的面积，这给实现1另外一个目的。另外，这个区域是有符号的，可以用来确定从V1到V2的旋转是逆时针还是顺时针方向。还应该注意的是，实现1是由这两个向量构build的2x2matrix的行列式。

实现2返回垂直于仍然在同一2D平面中的inputvector的vector。不是古典意义上的交叉产品，而是“给我一个垂直向量”的意义。

请注意，在交叉乘积运算下，3D欧几里德空间是闭合的 – 也就是说，两个3Dvector的叉积返回另一个3Dvector。上述的两个2D实现都与这种或那种方式不一致。

希望这可以帮助…

简而言之：这是一个math黑客的简写符号。

长解释：

您不能在二维空间中使用vector进行交叉产品。这里没有定义操作。

然而，假设通过将它们的z坐标设置为零来将2Dvector扩展到3D，评估两个vector的叉积通常是有趣的。这与在xy平面上使用3Dvector一样。

如果以这种方式扩展向量并计算这种扩展向量对的叉积，您将注意到只有z分量具有有意义的值：x和y将始终为零。

这就是为什么结果的z分量常常简单地作为标量返回的原因。这个标量例如可以用来find二维空间中三个点的缠绕。

从纯粹的mathangular度来看，二维空间中的交叉积不存在，标量版本是黑客，并且返回二维向量的二维交叉积是毫无意义的。

叉积的另一个有用的性质是它的幅度与两个vector之间angular度的正弦值有关：

| axb | = | a | 。 | B | 。正弦（THETA）

要么

正弦（θ）= | axb | /（| a |。| b |）

因此，在上面的实现1中，如果a和b预先知道是单位vector，那么该函数的结果就是正弦（）值。

我在我的计算中使用了二维交叉乘积，以便为相对于质量中心的任意点处的力vector所作用的对象find新的正确旋转。（标量Z一）

实现1是这两个向量的perp点乘积 。我知道的2Dgraphics的最好的参考是杰出的graphicsgem系列。如果你从事二维的工作，这些书是非常重要的。第四卷有一篇名为“Perp Dot产品的乐趣”的文章，其中有很多用处。

perp dot产品的一个主要用途是获得两个vector之间angular度的缩放sin ，就像点积返回缩放的angular度cos 。当然你可以使用点积和点积来确定两个向量之间的angular度。

这里有一篇文章，这里是Wolfram Math World的文章。